1

1. Els Nombres.

Al llarg de la història l’home ha utilitzat nombres per contar, per mesurar i fer previsions. Durant el curs veuràs diferents tipus de nombres i també tota una sèrie d’operacions possibles amb ells. Començant per les mesures senceres, passant per les racionals que ja utilitzaren els grecs per mesurar longituds i acabant amb tot tipus de nombres reals on la seva part decimal moltes vegades no és totalment coneguda.

Els Naturals.

Els nombres naturals 1, 2, 3, 4,….15 serveixen per comptar i per ordenar. Naturalment n’hi ha infinits i per diferenciar-los d’altres nombres els agrupem a un conjunt que diem N.

Així N = {1 , 2, 3, 4, 5, 6, …..1200, …}

Normalment intentem establir sempre un ordre entre els nombres. Aquella quantitat és més gran que…, jo tinc més anys que tu, …etc.

Hi ha una notació estàndard per indicar que 17 és més gran que 12, per exemple.

Així 17 > 12 o també s’escriu 12 < 17.

Altres exemples :

a) 20 + 3 < 20 + 4

b) 24 monedes de 5 Pts donen una quantitat < 15 monedes de 100 Pts.

Podríem dir també que els naturals son la suma dels parells i dels imparells. Dit d’una altra manera {2, 4, 6, 8,….} més {1, 3, 5, 7, 9,….} ens dóna el conjunt de tots els naturals.

Fixat per exemple que fent 2*N + 1 , i agafant diferents valors de n, ens dona sempre un nombre senar (imparell).

N=3 2n+1 = 7

N=5 2n+1 = 11

….

Prova tu mateix de cercar altres imparells d’aquesta manera.

Els nombres Parells també es diuen múltiples de 2 donat que s’obtenen multiplicant qualsevol nombre x 2.

En Matemàtiques per abreviar de vegades escriurem

Els múltiples de 3 també tindrien una notació semblant. Així

{ 3, 6, 9, 12, 15, …. 30…}

ACTIVITAT_1.

Donat que 6 i Y 1000 Ptes. O dit d’una altra manera 3 i Y 500 Ptes. Podem aprofitar aquest fet per fer conversions aproximades d’una moneda a un altre.

Així per exemple un article que val 390 i , aquesta quantitat dividida entre 3 ens dona 130, llavors 130 x 500 = 65.000 que seria aproximadament el preu en Ptes.

Completa tu mateix emprant aquest raonament la taula de baix:

Article

Preu i

Preu Ptes.

Rentadora

Cotxe

Tabac

Llibre

Vídeo

493

12500

2,65

24

212

Múltiples i divisors.

De fet observem que la majoria de nombres naturals s’obtenen a partir de nombres més petits. Vegem uns exemples:

2 = 1+ 1

12 = 1+1+1+1+….12 vegades.

15 = és el resultat de sumar el nombre 5 exactament 3 vegades = 5 + 5 + 5

En definitiva, molts naturals són nombres compostos i per tant la majoria tindrà una descomposició. A nosaltres ens interessa la descomposició factorial. Consisteix en escriure el nombre com a producte de potències de nombres primers.

Així 12 = 3·2²

Els primers seran aquells nombres que no tenen divisors propis. Són primers els 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

ACTIVITAT_2

Completa una taula dels 100 primers nombres com la de baix i ves taxant tots els nombres compostos fins que quedin només nombres primers.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26 ..

..

..

..

..

91

92

93

94

95

96..

100

Criteris de divisibilitat.

A la pàgina 25 tens una taula dels criteris més coneguts per mirar quan un nombre és divisible per 2, 3, 5, 9 i per 11.

De tota manera, sempre queda el recurs de la calculadora. Un nombre és divisible per un altre quan el resultat de la divisió és sencer.

Però, per què ens interessa això dels múltiples i divisors ? Pensa en el següent exemple:

La Marta és representant d’una marca comercial de begudes i ens diu que passarà pel nostre restaurant cada 6 –dies. Avui som dia 5 de Març i el 2 d’abril tenim un sopar per 250 persones encomanat. Voldríem saber quin serà la ultima comanda que farem a la Marta abans del sopar.

Nota: Ahir mateix va passar la Marta i li vam encomanar 12-caixes de cervesa San Miquel i 3-barrils.

Fem comptes :

4 + 6 = dia 10 de Març

10 + 6 = dia 16 …+6 = dia 22 de Març + 6 ..= dia 28 de Març. Quants dies té el Març?

Els nombres primers han jugat un paper important al llarg de la història. A la actualitat s’empren per exemple per xifrar tot tipus de missatges digitals a les telecomunicacions, a les transaccions bancàries a través d’Internet. La clau de xifrat és de vegades el producte de nombres primers molt grans i els potents ordinadors necessiten molt temps per trobar-la.

Et proposem 2 activitats relacionades amb els nombres primers:

1) distribueix els nombres en forma d’espiral tal com veus al gràfic de baix .. Fes el gràfic tan gran com puguis. Fixat en el files, columnes i diagonals. Veuràs que estan plenes de nombres primers. Podríem dir que caminant en la direcció de certes diagonals trobes "filons" de primers.

2) Una manera de trobar nombres primers grans consisteix en fer p1·p2·p3·p4…+1 Els nombres p1,p2, p3…han d’ésser nombres primers consecutius i no n’has de deixar cap.

Així :

2·3 +1 = 7

2·3·5 +1 = 31

2·3·5·7 +1 = 211

Et proposem que trobis així al menys 4 nombres primers més grans que 1000.

La descomposició factorial dels nombres és factible a ma quan no son molt grans. Et proposem que ho provis amb els nombres 16, 25, 48 i 60.

Així 36 = 2² · 3²

Múltiples i divisors.

La majoria de nombres tenen múltiples i divisors. Naturalment els primers no tenen divisors propis. En canvi, tots els nombres tenen múltiples, i de fet, tants com vulguem.

M.C.D. ( 24, 6 ) = factors comuns d’exponent més baix = 3·2

M.C.M. ( 7 , 15 ) = tots els factors amb exponent més gran = 7·3·5

Et proposem que els cerquis pels nombres 420 i 148.

De vegades no és senzill veure si un nombre té divisors. Fins i tot els ordinadors més potents necessiten temps per determinar si un nombre és primer. (Naturalment quan els nombres són grans)

De fet, a l’hora de provar divisors d’un nombre només cal que ho provem per aquells primers < que la seva arrel.

Per exemple, volem saber si el 323 és primer.

- Fem Ö 323 » 17’97..

- Agafem tots els primers fins el 17: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17

- Si el nombre no és divisible per cap d’ells podem garantir que és primer.

Et proposem que estudiïs tu mateix si son primers o no els nombres 211, 3943 i 923.

Activitats Clic.

El programa Clic ja fa temps que es distribueix als centres de Catalunya i Balears. Molta gent ha desenvolupat activitats i materials de quasi bé qualsevol àrea o tema que us pugeu imaginar.

Us proposem aquí que completeu el paquet d’activitats anomenat "Divisibilitat" dins l’aula Informàtica del vostre Centre.

Calculadora.

Practica una mica els operadors +, ·, =, /, ( , … fet els exercicis proposats a la pàgina 41 del llibre de Matemàtiques 3ESO d’Anaya.

Exercicis 47, 48, 49, 51, 54 a)

Observa quantes xifres decimals mostra per pantalla jugant amb la seqüència

MODE FIX n

Per tornar a mostrar totes les xifres decimals (opció per defecte), només cal tornar la calculadora al mode normal à

MODE 9

Exercicis.

1. Insereix el signe < (menor que) o > (major que) segons correspongui:

a) 12 15

b) 7 2

c) 93 101 d) 55 23

2. Troba tots els múltiples de 13 compresos entre el 400 i el 450.

Ex. 13 · 31 = 403

3. Troba tots els divisors de 150 dins els conjunt {1,2,3,4,…..14}

4. Situa els nombres 36, 218, 312, 3330, 216, 3000, 424, 2320 a la columna del divisor més gran que trobis.

2

3

4

5

6

9

10

100

3330

3000

5. Dóna una definició de nombre primer. Quants n’hi ha ?

6. Calcula amb les regles vistes a l’aula el :

M.c.d. ( 720, 440 )

M.c.m. ( 66, 99 )

7. Dos ciclistes parteixen el mateix moment i donen voltes a una pista circular en el mateix sentit. Un d’ells tarda en donar una volta 6 min. I l’altre 8 min. Quant temps estaran en tornar-se a trobar? Quantes voltes haurà donat cadascun?

8. La teoria ens diu que 2·3·5·7 + 1 = 211 segur que és primer. D'altra banda 2·32 + 1 = 19 també és primer.

Investiga amb les xifres 2, 3, i 5 jugant amb diferents exponents si pots trobar d'aquesta manera almenys quatre nombres primers.

Nom:

Data:

Nombres naturals i divisibilitat.

1. Ordena les següents sèries de nombres fent servir els símbols <, > :

a) 12, 15, 7

b) 8, 15 , 2

c) 93, 99, 9

2. Troba la descomposició factorial dels nombres proposats baix.

Ex. 91 = 7 ·13

a) 1224

b) 111

c) 1236

3. Cerca el m.c.d. i el m.c.m. dels nombres 720 i 440

4. Troba tots els divisors de 15 i 16. Podríem dir que no tenen divisors comuns ?

Quin és el m.c.m.?

5. Estudia si els nombres 133 i 421 són primers. Explica amb detall el procés que has seguit per saber-ho.

Ex: Per estudiar si el nombre 1327 és primer, fem Ö 1327 @ 36,42… i per tant provem tots els primers que trobem fins el 36.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Comprova finalment el càlcul:

2² · 3 · 5 · 7 + 1 = 421

Els nombres enters.

Al llarg de la història l’home té la necessitat d’emprar nombres negatius. Tant per indicar el sentit del deute com per exemple el sentit de moviment al pla.

Vegem per exemple un típic gràfic de punts al pla emprant un sistema de coordenades:

Podríem dir que el zero neix també del fet d’afegir els nombres negatius:

1 + (-1) = 0

Els enters són el resultat de ajuntar tots els naturals, el zero i els negatius. Anomenem generalment Z aquest conjunt de nombres.

Z = { …..-4, -3, -2, -1, 0 } U { 1, 2, 3, 4, ….} = tots els enters.

Operacions.

Les operacions de sumar, restar i multiplicar enters són conegudes. Comentem breument 2 propietats importants : la associativa i la distributiva.

Suma +

Resta -

Producte ·

Els símbols que apareixen a la dreta seran els més emprats.

La suma i la resta, són de fet la mateixa operació, donat que per exemple :

3 – 5 = -2 La resta de 3 i 5 dona –2.

3 + (-5 ) = -2 La suma de 3 amb el negatiu –5 dóna –2.

Associativa.

2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10 dóna el mateix resultat si situem el parèntesis al principi.

( 2 + 3 ) + 5 = 5 + 5 = 10

Distributiva.

4·(3 + 5) = 4·3 + 4·5

(2 + 7 )· 3 = 2·3 + 7·3

El model de l’esquerra val per qualsevol terna de nombres enters.

Quan té sentit aplicar-la? De fet el cas més clar es quan intervé una variable a la operació aritmètica.

Ex: 3 ·( a + 1) = 3·a + 3

Fixat que ara no tenim un resultat numèric de la operació aritmètica fins que no donem un valor a la variable a

De vegades l’apliquem per treure factor comú, quan per exemple un conjunt de nombres tenen el mateix divisor:

12 + 16 + 24 = 4· (3 + 4 + 6) = 4·13 = 52

Exercicis.

1. Fes els càlculs respectant l’ordre dels parèntesis i les propietats vistes a l’aula.

a) ( 5- 3 )·(7 – 4) + 2·( 3·(6 – 2) ) =

b) 9 – 2·3 =

c) (15 – 35)·(14 – 4) + 11 =

d) 2·8 + 4·[ 2 +3·(11-3) ] =

2. Calcula de 2-maneres diferents les operacions:

a) 7·(8 + 4) =

b) (6 +2 )·(4+5) =

c) ( 8 + 5 )·( 9 – 4 ) =

3. Aplica la propietat distributiva i agrupa els termes semblants.

a) 3·( 4 + 5x) =

b) (5 + a)·(2 + a) =

c) (3 + 2x )·( 4x + 1)=

4. Treu el factor comú convenient i calcula després el resultat.

a) 12 + 16 + 40 = 4· (3 + 4 + 10) = 4 · 17

b) 28 + 36 – 44 =

c) 2a + 5a + 12a =

d) 14x – 10x + 5x =

5. Comprova que si multipliques els 2 membres d’una desigualtat per un nombre positiu continua essent certa.

Ex: 7 > 4 Ara si multipliquem per 3 a cada membre obtenim:

21 > 12

Estudia tu mateix que passaria si multipliquem per un nombre negatiu. Posat tu mateix exemples com el de baix:

4 < 9 Però si multipliquem als 2-membres per (-1) , llavors - 4 < - 9 ?

6. Et proposem els exercicis de càlcul mental 13, 14 i 17 de la pàg. 38 del llibre Anaya. Aquells alumnes amb més dificultats poden fer només els més bàsics de la unitat didàctica.

Racionals, potències i decimals.

La unitat didàctica aprofundeix en els nombres, en les diferents notacions d’un mateix resultat numèric i també en l’ús de la calculadora amb els decimals, les potències i els nombres grans i petits.

Potències.

Recordem la definició quan l’exponent és enter, 2ⁿ =2·2·2...(n-vegades)

Exemples:

2⁵=2·2·2·2·2= 32

3⁴ =3·3·3·3= 81

Quan la base és negativa (el nombre que cal elevar a un exponent) pot presentar problemes el signe del resultat. Vegem:

1. (-2)³ = (-2)· (-2)· (-2) = - 8

2. (-3)⁴ = (-3)· (-3)· (-3)· (-3) = 81

Fixat que el signe (+) o (-) del resultat dependrà del nombre de vegades que multipliquem la base. En general funciona la regla:

Exponent parell = resultat (+)

Exponent senar = resultat (-)

* Ara només cal resoldre 2-petits dubtes:

Què passa quan l’exponent és zero ?

I quan l’exponent és negatiu, quin sentit té ?

La primera pregunta té una resposta lògica, donat que a tot producte podem posar la unitat, aquest ha d’ésser el resultat.

La segona és conseqüència del fet que podem sumar exponents quan tenim la mateixa base. Vegem:

2³ · 2⁴ = (2·2·2·) · (2·2·2·2) = 2⁷

Llavors per coherència, per exemple 2² · 2^(-2) = 2 ^{(2 –2)} = 2⁰. Si pensem una mica la potència negativa haurà d’ésser l’invers de 2². Resumint tot el que s’ha dit tenim les propietats de la pàg. 30 del llibre Matemàtiques 3ESO.

Propietats.

2^m · 2ⁿ = 2^m+n Exemple: 2³ · 2⁴ = 2³⁺⁴= 2⁷= 128

(2^m)ⁿ = 2^m·n

2⁰ =1

Si canvieu la base 2 per qualsevol altre nombre positiu les propietats també es compleixen. A la pàg. 30 s’ha canviat la base 2 per un nombre qualsevol a, positiu.

La calculadora disposa de la tecla x^y per calcular potències d’exponent sencer. Practica tu mateix amb alguns exemples senzills dels que ja coneguis els resultats.

Així 2⁵ = 2 x^y 5 = 32. Cal vigilar perquè els resultats poden ser grans quan augmentem l’exponent. Fixat en els càlculs que tens proposats en els exercicis de baix

Exercicis.

1. Practica una mica amb les potències.

a) Escriu en forma de potència 100, 1000, 0’000001

b) Escriu en forma de potència els nombres 32, 1024, ½ i 1/16.

c) Calcula 18³, 34⁶ i 3⁹⁸. Què en penses dels resultats ?

2. El càlcul 20.000.000 · ( 1 + 0’065 )¹⁰ ens calcula el capital final al cap de 10 anys d’una inversió de 20 milions col·locada al 6’5% de rendibilitat anual.

Podries fer un càlcul semblant per calcular el capital final al cap de 15 anys ?

3. Si l’IPC que ens indica la pujada dels preus en mitja durant un any econòmic es mantingués constant al llarg de 5 anys al voltant d’un 2’7%, tindríem:

1 cafè amb llet 175 Ptes. --> l’any vinent 175·(1’027) --> l’altra 175·(1’027)² ...

1 cervesa 225 Ptes. --> l’any vinent 225·(1’027) --> l’altra 225·(1’027)² ..

i així durant els 5 anys que l’IPC fora constant.

Podries calcular els preus d’aquests articles al cap de 5-anys ?

Gràfic.

Típica gràfica de les potències senceres d’un nombre.

Els exponents apareixen a l’eix OX.

Els resultats de les diferents potències apareixen en notació mantissa + exponent donat que els resultats aviat són força grans.

Els racionals.

Els grecs ja els empraven com a quocients de longituds senceres. Els nombres 1/3, 2/5, 3/7...etc. eren habituals en els seus càlculs.

Podríem classificar els racionals en 2 tipus ben diferenciats:

FINITS 5/2 = 2’5 .

On la part decimal és finita.

PERIÒDICS 1/3 = 0’333333

On la part decimal és periòdica (es repeteix indefinidament ).

Esbrina tu mateix si son finits o periòdics els nombres

2/6 =

12/7 =

23/8 =

45/4 =

Naturalment sempre els podem escriure en forma de fracció o bé en la seva forma decimal. Vegem uns exemples:

3’428571..428571..etc. = 24/7

12’2 = 61/5

Fracció generatriu.

Per obtenir la forma decimal només cal fer la divisió amb la calculadora. Passar de la forma decimal a la forma de fracció ja no es tan directe, cal conèixer un parell de regles:

a) PERIÒDICS PURS -->

(Totes les xifres – part sencera) / 999..(tants com xifres periòdiques)

b) PERIÒDICS MIXTES -->

(Totes les xifres – part no periòdica)/ 99..(xifres periòdiques)00..(no periòdiques)

3’23..23..23 = (323 – 3) / 99 = 320/99

5’2344444... = (5234 – 523) / 900 = 4711/900

Operacions.

Els racionals són un conjunt tancat si emprem les operacions bàsiques + , · i divisió. Repassem una mica com operem amb les racionals.

± ( suma i resta ) Cal agafar fraccions equivalents amb el mateix denominador.

· ( Producte ) Multipliquem numeradors i denominadors i expressem el resultat també en forma de quocient.

a) ; b)

: ( Divisió ) Multipliquem per la fracció inversa.

Exercicis.

1. Reflexiona el problema de la pàgina 22 del llibre Anaya.

2. Fes un exercici semblant als de la pàgina 28. Per exemple:

2/5 – 1/3 · (2 – 1/5) – 3·(2/7) =

3. Fes els exercicis 1, 2 i 4 de la pàgina 38 del llibre de 3^er Eso Anaya.

4. Fes els 7, 8 i 10 de la pàgina 38 del llibre de 3^er Eso Anaya.

Notació científica.

La calculadora empra també la notació científica per nombres molt grans o petits. Fixeu-vos que en aquests nombres el nombre de xifres decimals de vegades és gran i per tant hi ha un error també en aquesta notació. Vegem alguns exemples.

a) Així 50.000.000 = 5 x 10⁷ . La calculadora ens mostra 5 ⁷

b) 318.978.453 = 3’18978453 x 10⁸ . La calculadora ens mostra 3’18978453 ⁸

Exercicis.

5. Fes l’activitat 1 de la pàgina 31 del llibre Anaya.

6. Consulta la taula de baix on hi ha alguns prefixos emprats a les unitats de mesura de pes, longitud, temps...etc.

Ordres de Magnitud

giga

10⁹

mega

10⁶

kilo

10³

..

..

centi

10^-2

..

..

nano

10^-9

Què es un microsegon ?

Si la unitat megaeuro fora implantada al mercat, a quants euros equivaldria?

7. Fes els exercicis 16, 17 de la pàgina 38 del llibre Anaya.

8. Fes els exercicis 19, 20 i 21 de la pàgina 39 del llibre de 3^er Eso Anaya.

9. Fes els exercicis 22, 23 i 25 de la pàgina 38 del llibre de 3^er Eso Anaya.

10. El 28 de la pàgina 38 del llibre de 3^er Eso Anaya.

Resolució de Problemes.

En el llibre hi ha un munt de problemes i exercicis per fer, donem aquí un breu resum d’algunes recomanacions:

Comprensió.

Llegeix atentament l’enunciat. Pren notes, representa les dades esquemàticament perquè "entrin pels ulls".

Si el problema és geomètric, és imprescindible fer un dibuix.

Estratègies cap a una solució.

Aquest és el pas més difícil. De tota manera algunes estratègies que et poden servir serien:

Representa sistemàticament les dades.

Actua sistemàticament.

Tempteja. Fes les proves que facin falta.

Fes preguntes intermèdies.

Reflexiona la/les solució/ons.

Comprova si els resultats obtinguts responen a allò que se’ns demana al problema. Si això no és cert, revisa els passos anteriors.

Redacta convenientment la resposta de les solucions obtingudes.

Exemples.

Fixa’t en els exemples de les pàgines 12, 13, 14 i 15 del llibre de 3ESO. Aquests et poden servir per fer altres exemples proposats dins l’aula.

Problemes proposats.

Dins l’aula, o be per fer a casa farem els problemes 4, 5, 9 13, 14, 16, 22 i 25 del llibre de Matemàtiques 3ESO de l’editorial Anaya.

Adaptacions de la Unitat.

1. Nombres. Racionals, potències i decimals

Aquells alumnes amb més dificultats i mancances evidents de nivells anteriors podeu seguir aquesta guia d'activitats i exercicis model per assolir els continguts i objectius mínims que detallem a continuació.

Objectius.

Reconèixer si un nombre de 2 xifres és o no primer. Si el nombre és compost, saber escriure la seva descomposició factorial ( amb ajuda si cal de la calculadora ).

Saber calcular correctament el mcd i el mcm de dos nombres naturals de 2 xifres.

Operar correctament amb nombres sencers no més grans que 100. Aplicar correctament les regles del signe + o – en operacions de producte i quocient amb aquests nombres.

Fer operacions aritmètiques senzilles que contenen els operadors de +, -, · i parèntesi amb nombres sencers. Aplicar també correctament la propietat distributiva.

Simplificar fraccions a la seva forma més senzilla. Reconèixer fraccions equivalents on el numerador i denominador no tenen més de 2 xifres.

Emprar correctament els signes de > ( més gran que ) i < ( més petit que ) per comparar nombres enters i fraccions on numerador i denominador no tenen més de 2 xifres.

Fer operacions aritmètiques senzilles amb fraccions ( +, -, · i / ) donant el resultat en forma canònica ( més simple ).

Fer algunes operacions senzilles amb els operadors bàsics i la tecla de fraccions de la calculadora.

Saber escriure en forma de fracció alguns decimals finits d’una xifra, com per exemple 0’2, 0’6, 1’2, … etc.

Calcular correctament algunes potències de base positiva i exponents no més grans que 9. Aplicar correctament la primera propietat de les potències i operar correctament amb exponents negatius d’una xifra.

Activitats model.

Objectiu 1. Determina si són o no primers els nombres 49, 23, 17, 65, 78. Escriu la descomposició factorial d’aquells nombres que siguin compostos, per exemple:

60 = 2²·3·5

72 = 2³·3²

Objectiu 2. Calcula amb les regles vistes dins l’aula el mcd i el mcm dels nombres que tens a la taula de baix:

Nombres		Factorització	mcd	mcm
32	18	32= 2⁵ 18= 2·3²	2	2⁵·3²= 288
24	8
36	24

Objectiu 3. Opera correctament amb nombres enters i operadors bàsics. Calcula el resultat de les operacions aritmètiques proposades baix:

a) 7 –2 + 4 =

b) 7 – ( 2 – 4 ) =

c) 11 + 3·5 –2 =

d) 7 – ( 2 + 4 ) =

e) ( 7 + 2 )· 5 - 12 =

Objectiu 4. Aplica correctament la propietat distributiva per calcular el resultat de les operacions de baix: ( fixa’t en l’exemple ja fet )

a) 7 –2·(3 – 1) = 7 –2·(3) –2·(-1) = 7 – 6 + 2 = 3

b) 7 – 3·( 2 – 4 ) =

c) 11 + 3·( 5 –2 ) =

d) 7 – 2·( 2 + 4 ) =

e) ( 7 + 2 )· 5 - 12 =

Objectiu 5. Simplifica les fraccions proposades. Fixa’t en el primer exemple ja fet dels proposats a continuació

Objectiu 6. Ordena convenientment de menor a major les fraccions de la llista que tens a continuació:

Nota: Fixa’t que per exemple ja que 2·8 > 3·5

Objectiu 7. Fes exercicis semblants als proposats a la pàg. 39 del llibre de Matemàtiques 3ESO de l’editorial Anaya : els apartats a), b) del 19, el 20, 21, apartats a) i b) del 22 i també el 23 de la mateixa pàgina.

Exemple:

Objectiu 8. Empra si cal la tecla corresponent de la calculadora per operar amb fraccions i també els operadors +, - i · , juntament amb les tecles de parèntesi obert i tancat per comprovar alguns resultats dels exercicis proposats a l’objectiu 7 ja calculats a ma.

Objectiu 9. Escriu la forma racional d’alguns decimals senzills com els proposats baix. Escriu si cal primer la fracció corresponent amb denominador 10 i després la simplifiques fins arribar a la forma més simple.

Exemple:

b) 0’6 =

c) 1’2 =

d) 3’4 =

e) 0’75 = ( empra aquí denominador 100 ) =

Objectiu 10. Aplica correctament la propietat de les potències de la mateixa base per calcular els resultats. Empra també exponents negatius com l’exemple.

Exemples:

a) 3³ =

c) 2⁴·2² =

d) 3⁴·3^-1 =

e) 2^-2 =

d) Escriu també algunes unitats i sub-unitats de mesura en forma de potència com les proposades a continuació. Fixa’t en els exemples:

1 mm. = una mil·lèsima part d’un metre =

1 dècima de segon =

1 centilitre = 1 centèsima part d’un litre =

1 hectòmetre = 100 metres =

2. Proporcionalitat, percentatges, i repartiments.

Moltes situacions pràctiques ens obliguen a emprar raons i proporcions, en definitiva els nombres racionals que ja coneixem.

A un quocient de dos enters a, b del tipus de baix, li diem també raó.

Així també una proporció és una igualtat entre dos nombres racionals o raons.

Quan dues magnituds són proporcionals sempre és possible trobar el valor de l’altre coneguts dos valors de la primera magnitud.

Exemple: És clar que les alçades d’en Francesc i na Maria són proporcionals a les seves ombres i per tant:

;

Si suposem conegudes les altures 1,62 m. i 1,58 m. juntament amb l’ombra d’en Francesc 1,78 m., llavors podem calcular fàcilment l’ombra de na Maria:

à à

Recordem també que dues magnituds són directament proporcionals quan en augmentar una (doble, triple…) també augmenta l’altra en la mateixa proporció (doble, triple…)

Per exemple, si l’alçada d’un objecte és doble que un altre, la seva ombra també serà el doble.

Podríem dir també que en aquelles situacions on hi ha proporcionalitat directa podem aplicar la coneguda "regla de tres".

Exemple: Si per transportar 120.000 l. D’aigua necessitem 8 camions, quants fan falta per transportar 315.000 l.?

120.000 l. ----------- 8 camions

315.000 l. ----------- x

En els problemes de proporcionalitat composta, es a dir on intervenen més de dues variables o magnituds, convé fer-ne una reducció a la unitat. Vegem un exemple:

Per encalentir 100 gr. D’aigua des de la temperatura ambient de 17º fins a 80º necessitem 1.785 calories.

calories necessaries per pujar un grau de temperatura.

calories necessaries per pujar 1º de temperatura 1 gr. d’aigua.

En els repartiments proporcionals, només cal recordar que les parts, a més de proporcionals, cal que ens donin la unitat.

Per exemple: Si volem repartir beneficis de 2.500.000 € entre els directius d’una empresa proporcionalment als seus nivells de formació 24, 12 i 8 respectivament, només cal fer 24 + 12 + 8 = 44 parts.

Llavors a cadascun li tocarien 24, 12 i 8 parts respectivament:

és la quantitat que ara cal multiplicar per 24, 12 i 8.

x 24 = 1.363.636 €

x 12 = 681.818 €

x 8 = 454.546 €

Activitats.

Al llibre de 3ESO hi ha molts exemples per fer, comença per els de les pàgines 50 i 51.

Fes almenys dos exemples de les pàgines 52 i 53 del llibre.

Fes els 8, 12, i 15 de la pàgina 60 del llibre Matem 3ESO Anaya.

Fes els 17, 19, 22 i 26 de la pàgina 61.

Percentatges.

Moltes situacions de la vida quotidiana ens obliguen a emprar percentatges, ja sigui en forma de tant/unitat o be en forma de %. Vegem algunes situacions:

El Banc ens diu que ens cobrarà un interès d’un 8’5% al préstec que hem fet per pagar el cotxe. Amb altres paraules de cada 100 Ptes. que ens deixen, 8’5 Ptes. se les queda el Banc.

El constructor de la nostra casa ens diu que normalment té un benefici industrial del 10%. Traduït en moneda, això vol dir que després de calcular els materials, els sous del manobres, el terreny i permisos corresponents cal afegir el 10%.

De fet, ens adonarem que per calcular el preu final d’un article, només cal multiplicar per un factor convenient del tipus (1 + r/100)

On r és el % d’augment sobre el preu inicial.

Als descomptes, la situació és semblant, però ara multipliquem per (1 - r/100)

On r és el % de descompte sobre el preu inicial.

Cal vigilar amb els % perquè no son lineals. Vegem 2 exemples :

- No és el mateix una puja de sou d’un 5% que aplicar una puja d’un 3% el Febrer i una altra d’un 2% el Setembre.

- Si un comerciant ha baixat els preus el gener un 20% no els aconseguirà deixar igual amb una puja d’un 20% el mes de maig.

Intenta resoldre tu mateix les situacions següents:

1. Un comerciant compra objectes per valor de 15.000 €. Les despeses de transport li suposen el 6% del preu de la compra. Quant haurà de pagar en total ?

2. Un producte que pesa 150 grams té el 15% del component A, el 30% de B, el 20% de C i la resta del component D. Quina quantitat en gr. Hi ha de cada component ?

3. Un recipient conté 78 Kg. d’aigua salada. El 2% d’aquesta és sal. Quina quantitat hi ha d’aigua i de sal respectivament ?

4. D’un poble de 20.000 persones, el 32% duen ulleres i d’aquestes, el 45% són dones. Quantes dones amb ulleres hi ha ?

5. Un moble m’ha costat 198 €. A quin preu l’he de vendre per guanyar el 20% ?

6. Augmenta les següents quantitats:

4.900 en un 15% .................

50.000 en un 0’5% ...............

7.800 en un 85% .................

1.500 en un 100% .................

7. A un hipermercat hi ha rebaixes. Calcula el preu que haurem de pagar per cada producte, aplicant el descompte indicat en cada cas :

camisa 47 €. , un 15% ....................Preu rebaixat..........

televisió 512 €., un 12% ....................Preu rebaixat..........

corbata 22 €., un 21% ....................Preu rebaixat..........

8. Un producte valia 300 €.. i he pagat 260 €. Quin % de descompte m’han fet ?

9. Fes les activitats de la pàg. 55 del llibre de 3^er ESO.

10. Consulta l’exercici resolt de la pàg. 56 del llibre de 3^er ESO.

11. Fes les activitats de la pàg. 56 del llibre de 3^er ESO.

Interès compost.

Es tracta en definitiva d’un encadenament de percentatges on es manté constant el % que apliquem diverses vegades.

Exemple: Si apliquem un 5% d’augment a una quantitat de 5000 € de forma reiterada 4 vegades, tenim el de baix.

€

Consulta tu mateix els exercicis resolts de la pàg. 58 del llibre.

Activitats.

12. Fes les de la pàg. 57 del llibre de 3ESO.

13. Fes també les de la pàg. 58 del llibre de 3ESO.

14. Fes els 34, 38, 40, 44 i 47 pàg. 62 del llibre de 3ESO.

15. Fes l’exercici 51 de la pàg. 63 del llibre de 3ESO.

Adaptacions de la Unitat.

2. Repartiments. Calcul amb percentatges.

Objectius.

Calcular correctament el terme que falta a una igualtat de fraccions.

Donada una taula numèrica amb dades de 2 magnituds proporcionals, saber calcular valors concrets de les dues variables.

Resoldre correctament problemes senzills de proporcionalitat directa. Aplicar la coneguda "regla de tres".

Efectuar correctament repartiments proporcionals senzills.

Calcular percentatges, augments o descomptes correctament.

Activitats model.

Objectiu 1. Completa correctament les proporcions amb el/els termes que falten, per exemple:

Objectiu 2. Averigua els valors que falten a la taula de baix, que relaciona 2 magnituds directament proporcionals.

Velocitat	12	6	4	3	2	1
Km.	36		12

Completa de la mateixa manera la taula de baix:

Quantitat	20	5	4		50
Cost	1000			150

Objectiu 3. Resoldre alguns problemes senzilles aplicant la coneguda "regla de tres"

Exemple. Per transportar 120.000 litres de benzina es fan necessaris 8 camions de l’empresa Repsol. Quants camions de la mateixa capacitat de càrrega fan falta per transportar 315.000 litres ?

Podeu fer també exercicis senzills com el 9, 11, 13 i 14 de la pàgina 60 del llibre de Matemàtiques 3ESO de l’editorial Anaya.

Un cotxe a una velocitat mitjana de 90 Km/h. Triga 35 min. en fer el trajecte de Ciutadella a Maó. Si reduim aquesta velocitat mitjana a 75 Km./h. Quin retard es produeix amb el temps d’arribada ?

Objectiu 4. Resoldre correctament alguns repartiments proporcionals senzills, com una herència, beneficis d’una empresa al final d’exercici, … etc.

Podeu fer les activitats 1 i 3 de la pàgina 51 del llibre.

Podem repartir una herència de 17 millons d’euros entre 3 germans de manera que:

El major rep la meitat.

El segon una tercera part de l’herència.

El més petit, la tercera part del que rep del segon. ?

És el mateix repartir proporcionalment als nombres 2, 3 i 4 que fer-ho amb les quantitats 6, 9 i 12 ? Justifica la teva resposta, o be almenys prova-ho amb un exemple.

Objectiu 5. Calcula correctament augments i descomptes donats en format de %. Podeu fer aquí activitats semblants a les de la pàgina 54 del llibre.

Altres exemples model:

En un pantà hi havia 340 Hl. d’aigua, però aquest hivern ha plogut molt poc i el seu nivell ha disminuït un 36%. Quina quantitat te ara el pantà ?

A principi d’any tenia unes 400 accions al preu de 7’25 € cadascuna. Enguany han pujat un 12%, quin guany amb euros hem suposa aquesta inversió ?

Fes l’activitat 8 de la pàgina 57 del llibre.

Fes els exercicis 34, 38 i 40 de la pàgina 62 del llibre de Matemàtiques 3ESO.

3. Sèries Numèriques. Progressions

Reflexiona una mica l’exemple de la pàg. 66 del llibre Mat 3ESO d’Anaya. Naturalment t’hauràs d’ajudar de la calculadora per fer càlculs del tipus:

2 SHIFT X 22 = 4.194.304 !

Algunes permeten calcular la suma dels seus primers 100, 200,..340 termes. Diem que tenim una sèrie quan la seqüència de nombres segueixen certa regla, per exemple:

5, 10, 15, …. 75

Fixa’t que el que fem és repetir certa operació sobre el darrer terme de la sèrie que anem calculant.

Aritmètiques.

Sumem sempre una quantitat constant al darrer terme.

Geomètriques.

Multipliquem per una quantitat constant o raó el darrer terme.

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …. ( creixen ràpidament quan la raó és significativament més

gran que la unitat )

De fet, l’interès compost que ja hem estudiat anteriorment és un exemple clar de progressió geomètrica.

Activitats.

1. Reflexiona l’exemple de les cartes de la pàgina 70 del llibre. No es gens immediat !

2. Fes també tres activitats de la pàg. 70 del llibre de 3ESO.

3. Comprova que els 50 primers parells dins el conjunt {1,2,… 100} sumen 50 unitats més que els senars.

Nota: Obtèn primer la suma 1 + 2 + 3 + 4 +… 100 = parells + senars.

4. Fes les activitats 2 i 5 de la pàg. 73 del llibre de 3ESO.

Suma de termes d’una progressió.

A la pàgina 74 del llibre està ben explicat el cas més interessant, els termes d’una progressió geomètrica.

Quan la raó de la progressió és més gran que la unitat, va be emprar la fórmula en la forma que apareix baix.

Per exemple, a la mateixa pàgina sumem els termes 3+6+12+24+…384 ( es a dir 8 termes d’una progressió on r = 2 )

= = 3 · ( 256 – 1) = 765

En canvi, quan la raó és més petita que la unitat, convé emprar la fórmula amb un canvi de signe al numerador i denominador.

Vegem un exemple, voldríem sumar , que és el mateix que sumar 21 termes en progressió on r = ½

= = 1,9999998..

Activitats.

4. Fes les activitats de la pàgina 76 del llibre. A la mateixa pàgina explica que de fet l’interès compost és també una progressió geomètrica.

5. També és interessant el cas de sumar un nombre molt gran de termes quan aquests es fan molt petits, es a dir r < 1

Llavors, podem suposar que quan n és molt gran. Així és possible sumar un nombre infinit de termes:

6. Fes els exercicis 2, 5 i 8 de la pàgina 78 del llibre de Matemàtiques 3ESO Anaya.

7. Fes almenys 4 exercicis de la pàgina 79.

______________________________________________________________

Adaptacions de la Unitat.

Objectius.

Identificar diferents tipus de sèries.

Descriure amb enunciats senzills la regla que segueixen els termes d'una sèrie.

Entendre i aplicar correctament el concepte de terme general d'una sèrie, sigui aritmètica, geomètrica, o d'altre tipus.

Calcular termes concrets d'una sèrie, a partir d'una expressió algebraica prou senzilla.

Emprar correctament la fórmula de la suma dels termes d'una aritmètica.

Calcular correctament el capital final en alguns casos senzills on l'interès és compost, anual i donat en format de %

Activitats model.

Donats els primers termes d'una sèrie identificar de quin tipus és segons les possibilitats de baix:

Aritmètica

Geomètrica

Altre tipus

Fes una creu en cada cas a les sèries que tens a continuació:

a) 1, -1, 2, -2, 3, -3 , ….

b) 2, 6, 18, 54, ….

c) 1, 3/2, 2, 5/2, 3 , ….

d) -7, -4, -1, 2, …

Donades algunes sèries senzilles ( pels seus primers termes ), descriure amb un enunciat "la regla" que segueixen.

Exemples:

a) 3, 5, 7, 9, … "Cada terme és l'anterior més 2."

b) 1, 2, 3, 5, 8, 13 …. "Cada terme és la suma dels dos anteriors."

c) 1, 1/4, 1/9, 1/16 …

d) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, …

Escriure el terme general d'una progressió aritmètica, coneguts el primer i la diferència.

Exemples:

a) Si el primer a₁= 7 i la diferència d=3

b) Si el primer a1= -1 i la diferència d = 5

c) Si el primer a₁= 1/2 i la diferència d=3/2

Donada l'expressió del terme general, saber calcular alguns termes ( per exemple els 5 primers ) de la sèrie.

Exemples:

a) Si . Calculeu els primers 5 termes de la sèrie.

b) El mateix d'abans per les expressions de baix:

Saber aplicar la fórmula de la suma dels termes d'una progressió aritmètica en alguns casos senzills.

Exemples:

a) Suma 20 termes de la progressió aritmètica de diferència d=5 on el primer terme val 7.

7 + 12 + 17 + 22 + …..

Nota: Hauràs de calcular tu mateix/a el terme

b) Fes amb la fórmula la suma 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21+ 24 + 27 + 30. Fes-la després a ma i comprova que el resultat és el mateix.

c) Si a una progressió aritmètica i , empra la fórmula de la suma per calcular la suma dels 40 primers termes de la progressió.

Aplicar correctament els conceptes vists de sèries geomètriques per calcular en algun cas senzill el capital final dipositat a un interès compost anual donat.

Exemples:

a) Calcula el capital final obtingut si dipositem 4000 € durant 5 anys a un tipus del 3% anual.

b) Calcula el capital final obtingut si dipositem 12000 € durant 8 anys a un tipus del 3'5 % anual.

4. Llenguatge algebraic. Polinomis

Les expressions amb una variable apareixen contínuament a la resolució de problemes. Les expressions del tipus x + 2, x² –3x , són expressions algebraiques que no tenen ara un resultat numèric fins que no assignem un valor arbitrari a la variable x.

Moltes vegades anunciats del tipus "la meva edat era doble que la teva l’any passat" tenen la seva corresponent expressió algebraica.

Fixat en els enunciats de la pàgina 86. Els comentes amb el teu mestre.

Resol tu mateix els plantejaments de la mateixa pàgina.

Fes també totes les activitats proposades a la pàgina 87 del llibre Anaya.

Observa també les definicions de monomi, polinomi, identitat i equació de la pàgina 88 del llibre. Posa tu mateix un exemple diferent dels proposats a la mateixa pàgina de cadascuna de les expressions.

Monomis.

Diem monomis al producte de una o varies variables per nombres reals. Per exemple : 2x , 2xy, 5a² ... són monomis.

Polinomis.

Diem polinomi amb una variable, a la suma i resta d’un nombre qualsevol de monomis amb la mateixa variable.

Així, per exemple:

X² – 3x + 1

X³ –4x² –3 , 2x² – 3x , ...són polinomis en la variable x.

Grau.

És l’exponent més gran en que apareix la variable del polinomi.

Operacions.

Així com els nombres es poden sumar, multiplicar i dividir, els polinomis també. En general agruparem els termes semblants (del mateix grau) com els exemples:

2x –3 + 4x = 6x –3

x²–4x + 7 –2x² = -x² – 4x +7

Als productes, per exemple, només cal aplicar la propietat distributiva:

(2x –1 ) · (x²–3x ) = 2x³ –6x²–x² +3x = 2x³ –7x² +3x

Queda clar també que tot polinomi te la seva forma reduïda, com a l’exemple:

-x³ –3x² + 2x³ –4x +2 = x³ –3x² –4x +2 que resulta d’agrupar termes semblants.

Activitats.

Fes les proposades a la pàgina 89 del llibre de 3r ESO.

Fes els exercicis 1 a),b),c) 2 i 3 a), b), c) i d) de la pàgina 90 del llibre de 3r ESO.

Valor numèric.

Naturalment un polinomi no és més que una expressió algebraica que depèn d’una variable i per tant no té sentit demanar un resultat numèric.

De tota manera, si escollim un valor per la variable, llavors el polinomi defineix clarament una operació aritmètica que podem calcular. El seu resultat rep el nom de valor numèric del polinomi.

Vegem uns exemples:

X² – 3x + 7 és un polinomi que pot prendre infinits valors i que depèn del valor de x.

Llavors (1)2 – 3(1) + 7 = 5 és el valor numèric del polinomi quan x =1.

2x³– 3x – 6 és un polinomi de grau 3 que pot prendre infinits valors i que depèn de x.

Llavors 2·(-1)3 – 3(-1)- 6=- 5 és el valor numèric del polinomi quan x = -1.

Arrels d’un polinomi.

Quan un valor de la variable anul·la el polinomi, parlem d’una arrel o zero del polinomi.

Per exemple : 3x – 6 té només un zero, x = 2.

La majoria de polinomis tenen zeros, de fet els polinomis que no en tenen s’anomenen primers. ( semblant als nombres primers que no descomponen en producte de factors )

Per exemple: x² –3x + 7 no té zeros reals. És un polinomi primer.

El Quadrat del binomi.

Aquesta i altres identitats s’empren contínuament al llenguatge algebraic. De fet totes son el resultat d’aplicar correctament la propietat distributiva.

Les teniu a la pàgina 92 del llibre de 3^r ESO.

Vegem però ara uns exemples de la seva aplicació :

( a +1 ) ² = a² +2a + 1

( 2x - 1 )2 = ( 2x – 1 )·( 2x – 1 ) = 4x² – 4x + 1

( 3x + 2 )·( 3x – 2 ) = 9x² - 4

i al revés també, hi ha polinomis que poden expressar-se com un quadrat.

4x² + 4x + 1 = ( 2x + 1 )²

Activitats.

1. Fes almenys 3 apartats de les proposades a la pàgina 90 del llibre de 3r ESO.

2. Fes almenys 4 apartats de les proposades a la pàgina 91.

3. Observa les identitats de la pàgina 92. Fes les activitats proposades a la mateixa pàgina.

4. Fes les activitats 3, 5, 7, 9, 12 i 14 b) c) de la pàgina 93.

Fraccions algebraiques.

Són senzillament quocients de polinomis com els exemples de baix.

;

Algunes fraccions algebraiques admeten de vegades formes més simples, sobretot quan trobem monomis del mateix grau al numerador i denominador. Vegem uns exemples:

Activitats.

1. Fes les activitats 1, 3 i 4 de la pàgina 95 del llibre de 3^r ESO.

2. Fes els exercicis de la unitat 3, 4, i 5.

3. Fes almenys 2 apartats de cadascun dels exercicis de les pàgines 98 i 99 del llibre.

4. Fes també el 39 i 40 de la pàgina 101 del llibre de 3^r ESO.

5. Per acabar, dels problemes d’estratègia del final de la unitat seleccionem el 1 i el 5 de la pàgina 102 i també el 3 per a pensar de la pàgina 103 del llibre.

Aplicacions.

Escriure en forma algebraica té moltes aplicacions, en la resolució de problemes, en l’establiment de fórmules que calculen conceptes quotidians com el canvi de moneda, l’interès compost, ..etc.

Vegem una aplicació senzilla. Intenta simplificar l’expressió algebraica a² – (a+1)(a-1)

Sabem així automàticament els resultats de :

5²- 6·4 =

89² – 90·88 =

i així, per molt grans que siguin els nombres 88888²– 88889·88887 = a la unitat.

5.Equacions (1 –variable).

Un dels aspectes que caracteritzen les matemàtiques és el fet d’emprar contínuament equacions. De fet, el que interessa més moltes vegades és saber si tenen solució.

A la pàgina 105 del llibre de 3r ESO tens un munt d’exemples d’equacions. D’altra banda, no et desanimis, donat que algunes equacions que veurem dins el curs malauradament no tindran solució.

Diem equació a tota expressió aritmètica amb 2-membres separats per un signe =, i que conté una quantitat desconeguda, que anomenem variable.

Ex:

Solucions d'una equació.

x³ -2x² + 2x-4 = 0 és una equació de tercer grau completa perquè en el polinomi ordenat del primer membre no hi falta cap monomi.

2 és una solució de l'equació perquè 2³-2(2)² + 2(2) - 4 = 0

1 no és solució d'aquesta equació perquè

(1)³ -2(1)² + 2(1) - 4 = -3 ¹ 0

Equivalència d'equacions.

Direm que dues equacions són equivalents si tenen

les mateixes solucions.

Exemple:

Les equacions 3x + 9 = 0 i 7x + 21 = 0

són equivalents ja que x = - 3 es la solució per a les dues

En general:

Dues equacions són equivalents si tenen les mateixes solucions (normalment podem obtenir l'altra equació multiplicant la primera per un nombre real)

Tipus.

Hi ha molts tipus d’equacions, la majoria de les que veurem durant el curs s’ajusten als diferents models que tens a la pàgina 100 del llibre de 3^r ESO d’Anaya.

Polinòmiques.

Del tipus 3·( x-5 ) – 2x + ( x-3 )/2 = 1.

La majoria tenen solució, moltes vegades tantes com el grau del polinomi que hi apareix a un dels membres.

Radicals.

La variable apareix dins el signe Ö , com l’exemple de baix:

Generalment n’hi ha prou amb aïllar els termes radicals i desprès elevant al quadrat els dos membres per arribar a una equació polinòmica.

--> -->

arribem així a una equació polinòmica de 2n grau.

Equacions de 1r grau.

Quan tenen solució, aquesta és sempre única i convindrà comprovar-la en la majoria de casos. La variable apareix amb exponent 1 i per tant són les més senzilles.

Vegem un exemple:

3x + 5 = 8 Clarament només hi ha un valor de x = 1 que compleix la igualtat.

A les equacions amb denominadors convindrà multiplicar els 2 membres per el m.c.m. dels denominadors que hi apareixen. Exemple:

--> --> 6x –2x - 4 = 15

Activitats.

1. Fes les proposades a la pàgina 106 del llibre de 3^r ESO d’Anaya.

2. Fes almenys 5 apartats de les proposades a la pàgina 108 del llibre de 3^r ESO d’Anaya.

3. Dels exercicis de la unitat de la pàgina 114 del llibre, fes almenys 3 apartats dels nombres 1, 3 i 7.

François Viète

(1540-1603)

Més conegut pel seu nom llatinitzat, Franciscus Vieta va néixer a Fontenay-le- Comte. Va ser conseller del Parlament de Bretanya i durant el regnat d'Enric III i d'Enric IV.

Pot ser considerat el fundador de l'àlgebra moderna, va estudiar els treballs de Cardan, Tartaglia, Bombelli, Stevin i Diofant els quals li inspiraren la idea de fer servir lletres. Si bé ja amb anterioritat Euclides, Aristòtil i d'altres havien fet servir lletres en lloc de nombres específics, aquest ús era infreqüent, esporàdic i accidental.

Vieta va ser el primer a fer-les servir sistemàticament, no tan sols a incògnites sinó també com a coeficients.

Va estudiar les equacions i els mètodes per a l'extracció d'arrels, va calcular el nombre p amb una gran exactitud, va analitzar les funcions angulars, la trigonometria i la resolució de triangles.

Va morir a Paris el 1603; les seves Opera Mathematica foren editades per F. van Schooten a Lió I'any 1646.

Equació de 2ⁿ grau.

Ja hem parlat abans de Vieta, Cardano i altres matemàtics que resolen aquests tipus d’equacions amb una fórmula que depèn dels coeficients del polinomi que intervé a l’equació.

Exemple:

x² – 3x + 2 = 0

Cardano per exemple, ja aplicà la fórmula x = = Que ens dóna les solucions 2 i 1 per la variable x.

Fem però ara tres observacions :

Els valors 1 i 2 són arrels del Polinomi x² – 3x + 2.

El producte ( x – 1 )·( x –2 ) = x² – 3x + 2. Dit d’una altra manera, quan un polinomi té arrels, té també una descomposició en forma de producte de polinomis més simples.

Una equació del tipus de dalt no tindrà sempre solució. Ja que el terme dins l’arrel pot ser negatiu. Exemple : x² – x + 2 = 0 no té solucions reals.

Activitats.

1. Determina si les equacions de la pàgina 109 del llibre de 3^r ESO d’Anaya tenen o no tenen solucions.

2. Resol les equacions de la pàgina 110 del llibre.

3. Fes les activitats de la pàgina 111 del llibre de 3^r ESO d’Anaya

Fórmules de Vieta.

Moltes vegades convindrà emprar la forma normalitzada de l’equació, per exemple:

(1) 3x² – 6x + 12 = 0 és una equació equivalent a :

(2) x² – 2x + 4 = 0 on el terme x² està multiplicat per la unitat.

Llavors, les solucions de l'equació (2) x₁,x₂ compleixen :

x₁ + x₂ = -b

x₁. x₂ = c

Les igualtats anteriors permeten moltes vegades trobar les solucions senceres d’una equació sense haver d’aplicar la fórmula de Cardano vista anteriorment.

Exemples:

x² – x –2 = 0 Té solucions x = -1 i x = 2.

x² – 9x + 14 = 0 Té solucions x = 2 i x = 7.

Pots trobar tu les solucions ?

Nota: Les possibles solucions senceres de l'equació (2) han d'ésser divisors del terme independent c.

Resolució de Problemes.

Plantejar una equació a partir d’un enunciat d’un problema consisteix en traduir a llenguatge algebraic les condicions que uneixen allò que sabem amb allò que desitgem conèixer.

Podríem resumir-ho amb les passes següents:

Identificam les dades conegudes i donem nom a la variable.
Relacionem mitjançant una igualtat (equació) allò conegut amb allò desconegut (dit també variable).
Resolem l’equació amb algun dels mètodes estudiats.
Interpretem la solució i l’ajustem a l’enunciat.

Activitats.

1. Fes les proposades a la pàgina 112 del llibre de 3^r ESO d’Anaya.

2. Fes almenys 3 apartats dels exercicis 8, 10 i 11 de la pàgina 115 del llibre.

3. Dels exercicis de la unitat de la pàgina 116 del llibre, fes almenys el 16, 18, 20, 26 i 29 per completar la teoria.

Regla de Ruffini.

Consisteix en la divisió d'un polinomi P(x) per (x-a) utilitzant només els coeficients del polinomi.

D'altra banda, si el resta de la divisió anterior és zero, tenim que (x-a) és un factor primer del polinomi, ó el que és el mateix el valor a és un zero del polinomi.

Ex: Volem resoldre l'equació 3x² -4x +1 = 0

Intentem la divisió del polinomi per (x-1) amb la regla de Ruffini:

3 -4 1

1 ____3__-1__

3 -1 0 ==> resta

Tenim així el polinomi factoritzat : (x-1)(3x-1) i per tant també les solucions de l'equació anterior x = 1 , 1/3

Exercicis.

Utilitzar la regla de Ruffini per descompondre i resoldre les equacions:

x³ -2x²-5x +6 = 0

2x³ +3x² -8x +3 = 0

x³ +2x² -5x -6 = 0 * Recorda que si hi ha solucions senceres han d'ésser

divisors del terme independent del polinomi.

Equacions Irracionals.

De vegades, en la resolució d'un problema certa variable (objectiu a calcular) ens apareix dins una arrel ( ja sigui quadrada, cúbica, ..) Aquest tipus d'equació que apareix rep el nom de IRRACIONAL.

Ex:

* recorda que els resultats numèrics de les arrels són moltes vegades irracionals

Exercicis :

1. Empra algun mètode sistemàtic per resoldre les equacions de l’exercici 56 de la pàgina 119 del llibre.

2. Fes els apartats a), b) i c) del 51 de la mateixa pàgina.

3. Fes al menys 4 Problemes de les pàgines 116 i 117 del llibre de 3ESO.

Sistemes d’equacions.

De vegades, el plantejament d’un problema, d’una situació geomètrica o de qualsevol qüestió numèrica requereix l’ús de dues o més equacions.

Nosaltres ens dedicarem als casos més simples: Situacions en les que intervenen

2 variables i les equacions lineals corresponents.

Exemple:

x + y = 5

2x – y = 7

En tots els casos semblants podem ésser sistemàtics i utilitzar un dels mètodes clàssics per trobar les variables x,y.

Cal fer però les observacions següents:

Cadascuna de les equacions correspon a una recta del pla.

De vegades el sistema no té solució, donat que les rectes corresponents són paral·leles. Exemple:

x+ y = 5

2x + 2y = -1

Els casos que tenen solució, aquesta és única. Correspon al punt d’intersecció de les rectes.

En els sistemes amb denominadors, procurarem primer convertir-los a un sistema equivalent sense denominadors.

@ és equivalent a :

Activitats.

1. Fes les proposades a les pàgines 124 i 125 del llibre de 3r ESO.

2. Fes els apartats a), b) i c) dela pàgina 127 del llibre.

3. Un dels apartats de les pàg. 129, 130 i 131 del llibre de 3r ESO.

4. Un dels problemes de la pàgina 133 del llibre.

5. Un apartat dels exercicis 3, 4, i 5 de la pàgina 135 del llibre de 3r ESO.

6. De la mateixa pàgina, el 7 b), 8 i 10.

7. Exercicis 13 18 d la pàgina 136 del llibre.

8. Finalment, els exercicis 36, 37, 40, 51 i 52 del tema.

Adaptacions de la Unitat.

5. Equacions i sistemes lineals.

Objectius.

Donat un enunciat senzill, escriure correctament l'expressió algebraica amb una variable que li correspongui.

Aplicar correctament el teorema de Pitagores per calcular un costat desconegut d'un triangle rectangle.

Operar correctament amb la suma i producte de polinomis de grau no més gran que grau 3.

Resoldre algunes equacions de primer grau senzilles amb una variable, amb denominadors petits o sense.

Trobar amb la regla de Ruffini les arrels senceres d'un polinomi.

Simplificar correctament algunes expressions i fraccions algebraiques.

Aplicar correctament la fórmula de Cardano en algunes equacions senzilles de 2n grau amb denominadors sencers i que tinguin 2 arrels senceres.

Resoldre correctament algun sistema lineal amb 2 variables on els coeficients son sencers i trobem alguna solució del sistema.

Resoldre algun problema senzill on s'hagi de plantejar una equació amb una variable o un sistema lineal amb coeficients sencers.

Activitats model.

Escriure algunes expressions algebraiques senzilles amb una variable.

a) La suma de les edats de dos germans que es porten 5 anys és 23.

b) La suma de dos naturals senars consecutius és 42.

c) La parcel·la del meu veí és el triple que la meva. Entre les dues ocupem 1000 m²de la Urbanització.

Calcula el costat desconegut als triangles del dibuix:

Fes la suma i producte dels polinomis proposats baix:

a) i el polinomi

b) i el polinomi

c) Fes només la suma dels polinomis i

Resoldre algunes equacions semblants als models de baix.

Exemples:

Emprar la regla de Ruffini per decidir si els nombres enters 1, 2, 3 o 5 són arrels dels polinomis proposats a continuació.

Nota: Recorda que els possibles zeros han de ser divisors del terme independent del polinomi i per tant els que no compleixen aquesta condició, no cal provar-los.

Simplifica les expressions model que tens baix:

c) Almenys 2 apartats de l'exercici 30 de la pàgina 100 del llibre de 3Eso.

Empra la fórmula de Cardano per resoldre les equacions proposades a la pàgina 109 del llibre de Matemàtiques 3Eso d'Anaya.

Empra algun dels mètodes de reducció, substitució o igualació de variable per resoldre els sistemes lineals proposats a l'activitat 1 de la pàgina 127 del llibre de Matemàtiques 3Eso d'Anaya.

Resol alguns problemes senzills com els proposats a continuació

a) Els exercicis 18 i 20 de la pàgina 116 del llibre.

b) Els exercicis 8 i 9 de la pàgina 135 del llibre.

c) Els exercicis 2 i 3 de la mateixa pàgina.

Article	Preu i	Preu Ptes.
Rentadora Cotxe Tabac Llibre Vídeo	493 12500 2,65 24 212

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26 ..				..
..	..	..
91	92	93	94	95	96..				100

Ordres de Magnitud
giga	10⁹
mega	10⁶
kilo	10³

..	..
centi	10^-2
..	..
nano	10^-9