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Razones y Proporciones |
Las razones y las proporciones son el resultado de comparar dos cantidades. Veremos cada una de ellas y además veremos su aplicación más conocida: la regla de tres.
a) Razón o
Relación:
Se llaman así al resultado de comparar dos
cantidades, la primera de ellas llamada antecedente y la segunda llamada
consecuente. Estas cantidades las presentaremos en forma fraccionaria (aunque no
es exactanete una fracción), de la siguiente
manera:
antecedente
consecuente
Por ejemplo si tenemos la razón de 7 a 4, el antecedente
será 7 y el consecuente será 4.
Nuestra razón quedara:
7
4
b) Proporciones:
Las llamamos así
cuando tenemos una pareja de razones que son iguales.
Por ejemplo, tenemos:
las razones 2 es a 3 y 6 es a 9.
Se escribirán: 2 y
6
3 9
Entonces las comparo (como si se tratara de fracciones
comunes):
2
6
Recordemos que en comparación de fracciones multiplico cruzado
3 9
Tenemos entonces que 2 x 9 =18 y 6 x 3 = 18
Como los resultados son iguales (en ambos casos es 18) podemos afirmar que son fracciones equivalentes, pero además están formando una proporción. La proporción se lee 2 es a 3 como 6 es a 9.
En las proporciones encontramos los extremos y los medios. Extremos para nuestro caso son 2 y 9 (en rojo), mientras que los medios son 6 y 3 (en azul).
Las magnitudes proporcionales pueden ser de dos clases:
a) Magnitudes Directamente
Proporcionales:
Son dos magnitudes tales que,
multiplicando una de ellas por un número, la otra también debe ser multiplicada
por el mismo número; o dividiendo a una de ellas por un número, la otra también
debe ser dividida por el mismo número.
Por ejemplo si tenemos:
7
4
Se quiere formar una proporción, entonces tendremos que
multiplicar o dividir por el mismo número tanto a 7 como a 4:
7
~> x4 ~> 28
4 ~> x4 ~> 16
Hemos formado: 7 =
28
Nótese que en este caso ambas cantidades
aumentan
4 16
Son magnitudes directamente proporcionales:
- El tiempo y
las unidades de trabajo realizadas (a mayor tiempo, mayor trabajo
realizado)
- La cantidad y el precio (a mayor cantidad, mayor precio)
- El
peso y el precio (a mayor peso, mayor precio)
- El tiempo de trabajo y el
sueldo de un trabajador (a mayor tiempo, mayor sueldo)
- El espacio con la
velocidad (recorremos mayor distancia si vamos a mayor velocidad)
- El
espacio con el tiempo (recorremos mayor distancia en mayor tiempo)
b) Magnitudes Inversamente
Proporcionales:
Son dos magnitudes tales que, multiplicando
una de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo número; o
dividiendo a una de ellas por un número, la otra debe ser multiplicada por el
mismo número.
Por ejemplo si tenemos:
4
7
Queremos formar una proporción (empleando el criterio de
magnitudes inversamente proporcionales:
4 ~> ÷4
~>
1
Nótese que mientras una cantidad aumenta la otra disminuye
7 ~> x4
~> 28
Son magnitudes inversamente proporcionales:
- El número
de obreros y el tiempo para realizar una obra (mas obreros, menos tiempo)
-
Las horas de trabajo y los días que se trabaja (mas horas, menos días)
- La
velocidad y el tiempo (a mayor velocidad, menor tiempo en recorrer una
distancia)
La regla de tres simple se apoya en los criterios de las magnitudes proporcionales, entonces tendremos dos clases:
a) Regla de Tres Simple
Directa:
Esta se utiliza para magnitudes directamente
proporcionales.
Por ejemplo, si tenemos que 5 libros me cuestan 26 soles, queremos saber cuanto costaran 15 libros
Supuesto 5
libros ~> S/.
26
Pregunta 15 libros
~> x
Para hallar el valor de x, empezamos a multiplicar cruzado
los datos que si tenemos:
Supuesto
5 libros ~> S/. 26
Pregunta
15 libros
~>
x
15 x 26 = 390
Y ahora dividimos la cantidad obtenida entre el número que
aún no habíamos empleado:
Supuesto
5 libros ~>
S/. 26
Pregunta 15 libros
~>
x
390 ÷ 5 = 78
Finalmente decimos que 15 libros nos costaran 78 soles.
b) Regla de Tres Simple
Inversa:
Esta se utiliza para magnitudes inversamente
proporcionales.
Por ejemplo, si 4 obreros hacen una pequeña construcción en 12 días, ¿cuántos días demoraran 6 obreros?
Supuesto 4
obreros ~> 12
días
Pregunta 6
obreros ~>
x
Para hallar el valor de x, empezamos a multiplicar
directamente los datos que si
tenemos:
Supuesto 4 obreros ~> 12
días
Pregunta 6
obreros ~>
x
4 x 12 = 48
Y ahora dividimos la cantidad obtenida entre el número que
aún no habíamos empleado:
Supuesto
4 obreros ~> 12
días
Pregunta 6 obreros
~>
x
48 ÷ 6 = 8
Finalmente decimos que 6 obreros completaran su trabajo en 8 días.
Es una aplicación sucesiva de la regla de tres simple. Debemos tener mucho cuidado al ver si estamos trabajando con regla de tres simple o regla de tres compuesta, por ello es recomendable hacerlo por partes.
Veamos un ejemplo:
Si 3 hombres avanzan 80 metros de una
obra en 15 días, ¿cuantos días necesitaran 5 hombres para avanzar 60 metros de
la misma obra?
Distinguimos en nuestro
ejemplo:
Supuesto 3
hombres ~> 80 metros
~> 15
días
Pregunta 5
hombres ~> 60 metros
~> x
Podemos decir que la relación entre cantidad de hombres y
días trabajados esta formando una regla de tres simple inversa (a mayor cantidad
de hombres menos días), entonces podríamos decir:
3 x
15
5
Además sabemos que la cantidad de hombres y la cantidad de
trabajo avanzada forman una regla de tres simple directa (a mayor cantidad de
hombres, mas trabajo se puede realizar, entonces:
3 x 15 x
60 = 2700 =
6,75
5 x
80
400
Entonces decimos que el trabajo se realizara en 7 días (hemos redondeado)